高中数学竞赛模拟试题一

2006年江苏省六合高级中学 高中数学竞赛模拟试题一

一、选择题：

1.设集合M { 2,0,1},N {1,2,3,4,5}，映射f:M N使得对任意的x M，都有则这样的映射f的个数是 （ A ） x f(x) xf(x)是奇数，

（A）45 （B）27 （C）15 （D）11

提示：当x 2时，x f(x) xf(x) 2 f( 2)为奇数，则f( 2)可取1、3、5，有3种取法；当x 0时，x f(x) xf(x) f(0)为奇数，则f(0)可取1、3、5，有3种取法；当x 1时，x f(x) xf(x) 1 2f(1)为奇数，则f(1)可取1、2、3、4、5，有5种取法。由乘法原理知共有3 3 5 45个映射。

2.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB DC 2DA) (AB AC) 0，则△ABC的形状是 （ A ）

（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形 提示： 2 2 . 3.设函数f(x) lnx,g(x) ax

b

，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当x 1x

时，f(x)与g(x)的大小关系是 （ B ） （A）f(x) g(x)（B）f(x) g(x)（C）f(x) g(x)（D）f(x)与g(x)的大小不确定 提示：f(x)与g(x)的图象在x轴上有公共点(1,0)，∴g(1) 0,即a b 0.

1b11'''

,g(x) a 2,由题意f(1) g(1) 1,即a b 1,∴a ,b . x22x

1111111

),则F'(x) 2 ( 1)2 0 令F(x) f(x) g(x) lnx (x

22xx22x2x

∵f'(x)

∴F(x)在其定义域内单调递减.由∵F(1) 0,∴当x 1时,F(x) 0,即f(x) g(x).

x2y2

4.设AB是椭圆2 2 1（a b 0）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB的

ab

垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、… 、P99 ，F1为椭圆的左焦点，则