1992年全国高中数学联赛一试试卷

1992年全国高中数学联赛试卷

第一试

一．选择题(每小题5分，共30分)

1. 对于每个自然数n，抛物线y=(n2＋n)x2-(2n＋1)x＋1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|＋

|A2B2|＋…＋|A1992B1992|的值是( )

(A)1991/1992 (B)1992/1993 (C)1991/1993 (D)1993/1992

2. 已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )

(A)(x

＋

(C)(x

＋

)(y

＋)(y-)=0 (B)(x-

)=0 (D)(x-)(y-)(y

＋)=0 )=0

3. 设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=(S1+S2+S3+S4)/S，则λ一定满足( )

(A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ<5.5

4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b≠1)，且C/A，sinB/sinA

都是方程

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形

5. 设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2＋z22=0，0为坐标原点，则△OAB的面积为( )

(A)8√3 (B)4√3 (C)6√3 (D)1√3

[注：√表示根号。另外数字0(零）和字母O（欧）可能会在您的电脑显示器上显示成相同的字符。]

6. 设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10＋x)＝f(10-x)， f(20-x)＝-f(20＋x)，则f(x)是( )

(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数

二．填空题(每小题5分共30分)

1. 设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且1/x,1/y,1/z成等差数列，则x/z+z/x的值是______．

2. 在区间[0,π]中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是______．

3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_____．

4. 设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5，|z1＋z2|=7，则arg(z2/z1)3的值是______．

5. 设数列a1，a2，…，an，…满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n， 都有anan+1an+2≠1，又anan+1an+2an+3=an＋an+1＋an+2＋an+3，则a1＋a2＋…＋a100的值是_____．

6. 函数f(x)=-的最大值是_____． =logb(4x-4)的根，则△ABC( )