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第1届IMO
1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。
2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3. a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程
a cosx + b cos x + c = 0,
试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。
4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证 AF、BC相交于N点；
（b.) 求证 不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S；
(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。
6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点
B、D分别落在平面P和Q上。
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第2届IMO
1. 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。
2. 寻找使下式成立的实数x：
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