2010年全国高中数学联赛模拟题1-11

2x2 bx c

(b 0)的值域为[1,3]，则b c 一、1、已知函数y 2

x 1

2、已知a R,并且a2 2x2 x a(a 0)，则a的取值范围是

3、设在xOy平面上，0 y x2，0 x 1所围成图形的面积为

1

，则集合3

M {(x,y)y x 1},N {(x,y)y x2 1}的交集M N所表示的图形面积为

4、f(x)

x2 2x 2x2 3x 3的最小值为43

i.则tan( )＝55

5、已知复数z cos isin ，u cos isin ，且z u

x2y2

1上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足）6、过椭圆C：，延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ32

≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为 7、设[x]表示不超过x的最大整数，则[log31] [log32] [log33] [log3500] 8、设p是给定的奇质数，正整数k

也是一个正整数，则k=____________

二、解答题（共3题，共56分）

9、（本题16分） 在△ABC中，A,B,C所对边分别为a,b,c，且c 10,点，求点P到A,B,C的距离的平方和的最大值和最小值

10、（本题20分）数列{an}中，a1 8,a4 2且满足an 2 2an 1 an(n N )（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn

cosAb4

，P为△ABC的内切圆上的动cosBa3

m1

,Tn b1 b2 bn(n N )，是否存在最大的正整数m，使得对于任意的n N ,均有Tn

32n(12 an)

成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

11、（本题20分）给定圆P:x y 2x及抛物线S:y 4x,过圆心P作直线l,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A,B,C,D,如果线段AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.

1、（本题40分）联结圆内接等腰梯形ABCD的对角线AC,BD相交于E，已知图中各条线段均为正整数，且 AED 2 ABD 2 ACD 120,AD 7.(1)求证图中存在一个三角形，其三边长均为素数且组成一个等差数列. (2)若给点A,E,D染上红色，圆面上的其它点任意染上红蓝色之一，求证圆面上存在一个同色等边三角形，其边长为素数.

2、（本题40分）已知实函数f(x,y)满足①f(x,0) 1, ②f(f(x,y),z) f(z,xy) z. 求f(x,y)的表达式. 3、（本题50分）求不定方程x1 x2 x3 3x4 3x5 5x6 21的正整数解的组数．

4、（本题50分）正五边形的每个顶点对应一个整数，使得这5个整数和为正。若其中三个相连顶点相应的整数依次为

2

2

2

x,y,z，而中间的y 0，则要进行如下操作：整数x,y,z分别换为x y, y,z y，只要所得的5个整数中至少有一

个负时，这种操作就继续进行，问：是否这样的操作进行有限次后必定终止。