2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第14讲染色问题

第14讲染色问题

本节主要讲述用染色的方法解有关的竞赛题．染色，是一种辅助解题的手段，通过染色，把研究对象分类标记，以便直观形象地解决问题，因此染色就是分类的思想的具体化，例如染成两种颜色，就可以看成是奇偶分析的一种表现形式．染色，也是构造抽屉的一个重要方法，利用染色分类，从而构造出抽屉，用抽屉原理来解题．

例1⑴ 有一个6×6的棋盘，剪去其左上角和右下角各一个小格(边长为1)后，剩下的图形能不能剪成17个1×2的小矩形？

⑵ 剪去国际象棋棋盘左上角2×2的正方形后，能不能用15个由四个格子组成的L形完全覆盖？

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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第14讲染色问题

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分析把棋盘的格子用染色分成两类，由此说明留下的图形不能满足题目的要求．

证明 ⑴如图，把6×6棋盘相间染成黑、白二色，使相邻两格染色不同．则剪去的两格同色．但每个1×2小矩形都由一个白格一个黑格组成，故不可能把剩下的图形剪成17个1×2矩形．

⑵如图，把8×8方格按列染色，第1，3，5，7列染黑，第2、4、6、8列染白．这样染色，其中黑格有偶数个．由于每个L形盖住三黑一白或三白一黑，故15个L形一定盖住奇数个黑格，故不可能．

说明用不同的染色方法解决不同的问题．

例2 用若干个由四个单位正方形组成的“L”形纸片无重叠地拼成一个m n的矩形，则mn必是8的倍数．

分析易证mn是4的倍数，再用染色法证mn是8的倍数．

证明：每个L形有4个方格，故4|mn．于是m、n中至少有一个为偶数．设列数n为偶11数，则按奇数列染红，偶数列染蓝．于是红格与蓝格各有2个，而2是偶数．每个L形

或盖住3红1蓝，或盖住1红3蓝，设前者有p个，后者有q个．

于是红格共盖住3p+q个即p+q为偶数，即有偶数个L形．设有2k个L形．于是mn=2k×4=8k．故证．

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第14讲染色问题

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