九江三中高中数学竞赛专题讲座立体几何

竞赛试题选讲之六：立体几何

一、选择题部分

1. （2006吉林预赛）正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直 线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l的条数为 （ C ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3 2.（2006陕西赛区预赛）如图2，在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为棱

过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成30角，

AB上一点，则这样的直

线l的条数为（B）

A. 1 B .2 C. 3 D .4

3．(集训试题)设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式

111

PQPRPS

（ ）

B．有最小值而无

A．有最大值而无最小值 最大值 C．既有最大值又有最小值，两者不等 D．是一个与面QPS无关的常数

解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=h=PQR·

1

S△3

11

PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，(PQ·

321111d1d1d1

S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d= PQ·PRsinα+ PS·PRsinα+ PQ·PS·sin3333323232

111sin

=常数。故选

PQPRPSd

α，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即D。

4．（2006年江苏）过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线

5.（2006天津）已知P为四面体S ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底

面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是 （ D ） A．圆或椭圆 B．椭圆或双曲线 C．双曲线或抛物线 D．抛物线或椭圆 6．（2006年南昌市）四棱锥P ABCD的底面ABCD是单位正方形(A,B,C,D按反时针方向排列),侧棱PB

垂直于底面,且PB＝,记 APD ,则sin ＝（C）

共有（C）

A．0条

B．1条 C．4条 D．无数多条

A．

2 2

B．

3

C．

5

D．

6