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初中数学竞赛辅导资料(21)
最大 最小值
甲内容提要
1. 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：
b24ac b2
①配方法：原函数可化为y=a(x+)+.
2a4a
∵在实数范围内(x+
b2
)≥0， 2a
b4ac b2
∴若a>0时，当x=－ 时， y 最小值=；
2a4ab4ac b2
若a<0时，当x=－ 时， y 最大值=.
2a4a
②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax2+bx+c－y=0.
∵x 在全体实数取值时，
∴ △≥0
即b2－4a(c－y)≥0， 4ay ≥4ac－b2.
4ac b24ac b2
若a>0，y≥，这时取等号，则y 为最小值；
4a4a4ac b24ac b2
若a<0，y≤，这时取等号，则y 为最大值.
4a4a
有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方
法方便.
2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：
定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.
例如：两正数x和y， 如果x+y=10, 那么xy的积有最大值，最大值是25.
定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.
例如：两正数x和y，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法. 设a>0, b>0, a+b=k . (k为定值).
那么ab=a(k－a)
12k2
=－a+ka=－(a－k)+.
24
2
kk2
当a=时，ab有最大值.
24
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