高二数学竞赛辅导-初等数论

定义1 (带余除法)给定整数 如果有整数 满足 , 则 和 分别称为 除以 的商和余数.特别的, 时,则称 被 整除,记作 ,或者说 是 的倍数,而 是 的约数.

高二数学竞赛辅导－初等数论

一、奇数、偶数、质数、合数 1. 整数的奇偶性

（1）奇、偶数具有如下性质：奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数； 奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；

（2）奇数的平方都可表为8m 1形式，偶数的平方都可表为8m或8m 4的形式（m Z）. （3）任何一个正整数n，都可以写成n 2l的形式，其中m为非负整数，l为奇数. 2. 质数与合数、算术基本定理

定理：任何大于1的整数A都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A可以写成标准分解式：A p11 p22 pnn（*）.其中

a

a

a

m

p1 p2 pn,pi为质数， i为非负整数，i 1,2,3 ,n.

注：1:（合数的因子个数计算公式）若A p11p22 pnn为标准分解式，则A的所有因子（包括1和A本身）的个数等于( 1 1)( 2 1) ( n 1)

推论2：（互质元素个数的计算公式）若A p11p22 pnn为标准分解式，则在1到A中与A的互质的元素的个数等于A(1 二、整除

1．整数的整除性

定义一：（带余除法）对于任一整数a和任一整数b，必有惟一的一对整数q，r使得a bq r，

111

)(1 ) (1 )。 p1p2pn

0 r b，并且整数q和r称为b除a的余数.若r 0，则称b整除a，

或a被b整除，或称a是b的倍数，或称b是a的约数（又叫因子），记为b|a.否则，b| a. 由整除的定义，不难得出整除的如下性质： （1）若a|b,b|c,则a|c.（2）若a|bi,则a|

cb,其中c

iii 1

n

i

Z,i 1,2, ,n.

（3）若a|c，则ab|cb.反之，亦成立.（4）若a|b,则|a| |b|.因此，若a|b,又b|a,则a b. （5）a、b互质，若a|c,b|c,则ab|c.

（6）p为质数，若p|a1 a2 an,则p必能整除a1,a2, ,an中的某一个.特别地，若p为质