数学竞赛中的数论问题

有关数论的讲解 罗增儒教授

数学竞赛中的数论问题 罗增儒

引言

数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．

什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3， 是这样一个集合N ：

（1）有一个最小的数1．

（2）每一个数a的后面都有且只有一个后继数a；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．

这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：

（3）对N 的子集M，若1 M，且当a M时，有后继数a M，则M N ． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1．

欧拉认为这是对的，但证不出来．

1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得：一个素数+素数 素数（1+2），至今仍无人超越． ●陈景润的数学教师沈元很重视利用名人、名言、名事去激励学生，他曾多次在开讲时，说过这样的话:“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠． ”陈景润就是由此而受到了启示和激励，展开了艰苦卓绝的终生奋斗和灿烂辉煌的奋斗终生，离摘取“皇冠上的明珠”仅一步之遥．

●数论题涉及的知识不是很多，但用不多的知识来解决问题往往就需要较强的能力和精明多的技巧，有人说：用以发现数学人才，在初等数学中再也没有比数论教材更好的课程了．任何学生如能把当今一本数论教材中的练习做出，就应当受到鼓励，劝他（她）将来去从事数学方面的工作（U．Dudley《数论基础》前言）．下面，是一个有趣的故事．

当代最高产的数学家厄尔多斯听说一个叫波萨（匈牙利，1948）的小男孩很聪明，就问了他一个问题加以考察（1959）：如果你手头上有n 1个正整数，这些正整数小于或等于2n，那么你一定有一对整数是互素的，你知道这是什么原因吗？

不到12岁的波萨只用了1分半钟，就给出了问题的解答．他将1～2n分成（1，2），（3，4）， ，（2n 1,2n）共n个抽屉，手头的n 1个正整数一定有两个属于同一抽屉，这两个数是相邻的正整数，必定互素．

通过这个问题，厄尔多斯认定波萨是个难得的英才，就精心加以培养，不到两年，14岁的波萨就发表了图论中“波萨定理”．

●重视数学能力的数学竞赛，已经广泛采用数论题目，是数学竞赛四大支柱之一，四大

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