竞赛中关于立体几何的存在性问题

2001年第23期　　　　　　　　　　　　　数学通讯37

竞赛中关于立体几何的存在性问题

崔金兴

(安丘市北关中学,山东　262100)

王金庆

(安丘市第三子弟学校,山东　262100)

中图分类号:G633.6-44　　　　文献标识码:A　　　　文章编号:0488-7395(2001)23-0037-03

　　存在性问题是竞赛中的常见题型,本文介绍立体几何中存在性问题的解法,以供参考.1　肯定型　

即证明符合条件的对象一定存在,象存在即可、反证法等.

例1　(第三届美国数学奥林匹克试题)半径为1的一球体的两边界点,可以用长度小于2的一条内弧(即含于球内的曲线)连结.证明这条弧一定属于这个球的某一半球.

证　如图1,设A,B为弧的端点,考察与∠AOB的平分线垂直α.我们证明弧

AB属于由平面α所分

图1　例1图

的包含A和B的半球.

设A′为A关于α的对称点,则A′,O,

B共线,从而A′B=2.

设X是α内任一点,AX=A′X,则任意长度小于2的弧AB不含属于α的任意点X,否则,若AB包含X,则AX+XB≥AX+XB=A′X+XB,由三角不等式A′X+XB≥A′B.

注　本题的结论可推广到任意中心对称几何体,即“若一个中心对称体的最小中心直径为2,这个体的两个边界点被一条长度小于2的弧所连结,则该弧必属于某一半体,且

的”.

)设2　(,..求证:存在一个四面体,它的四个顶点同色,并且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点.

证　20个点染成红、黄二色,必存在四点同色.由于任一平面上同色点不会超过3个,故这四个点必为四面体的四个顶点,故存在四顶点同色的四面体且只有有限个.因此,可选其中体积最小者,这个体积最小的同色四面体即为所求.否则,它的面上若都有另一颜色的点,将产生体积更小的同色顶点四面体,导致矛盾.

例3　(第10届IMO试题)证明:任一四面体ABCD,总存在一个顶点,使过这顶点的三条棱可组成三角形.

证　设AB为最大棱,则A,B中必有一点符合要求.否则有

AB≥AC+AD,AB≥BC+BD,从而有

2AB≥(AC+BC)+(CD+BD)>AB+AB=2AB,矛盾.

另一类较常见的情形是证明符合条件的几何对象至多(或至少)有有限个.一般用综合法或反证法.

例4　(据第32

届IMO加拿大训练题改编)在单位球面上放置了若干个点,使得其中任意两点的距离至少为,证明球面上

收稿日期:2001-08-30

),男,山东安丘人,山东安丘北关中学高级教师.作者简介:崔金兴(1955—