竞赛中关于立体几何的存在性问题

38数

学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第23期

至多有六个点.

证　设A为球面上的北极,则剩下的点全部在南半球(包括赤道)上.

若南极只有点B,则其余的点全部在赤道上,此时至多有2+4=6个点;

若没有点在南极,可证此时点的个数不超过5.

假设至少有五个点A1,A2,…,A5在南半球(包括赤道)上,A′为南极,弧A′Ai(i=1,2,…,5)交赤道于A′A′i,则∠A′iA′j(1≤i≠j≤5)中至少有一个角不大于72°,不妨设为∠A′A′72°,则在球面△A′A′1A′2≤1A′2中任意两点的距离小于,矛盾.

综上所述,.

例5　,证:.

x个顶点,且每个面上有a1,a2,…,a10n个顶点.从而每个面上有a1,a2,…,a10n条边,故凸多面体棱的

10n

数目为6a,由欧拉定理得

2i=1i

10n

10n+x=6a+2.

2i=1i10n10n

又x6ai,故6a+2-10n≤

3i=12i=1i10n

10n

6a,6a≤60n-12.3i=1ii=1i

若10n个面中不存在n个面边数相同,则6ai≥(3+4+…+12)(n-1)+13×10

i=1

10n

=75n+55>60n-12.矛盾.2　否定型　

即证明满足条件的几何对象不存在.通常用反证法.

例6　(1956年北京市中学数学竞赛第二试试题)证明:在空间中不可能有这样的多面体存在:它们有奇数个面,而它们的每个面又都有奇数条边.

证　设多面体有n(n为奇数)个面,每个面的边数分别为S1,S2,…,Sn(Si为奇数,i=1,2,…,n),多面体总边数为S.

由每条边为两个面所共有知

S1+S2+…+Sn=2S.

即奇数个奇数之和等于偶数,矛盾.

例7　(安徽省数学奥林匹克学校第一期培训班招生考试题)证明:不存在这样的长方体,它的棱长是连续整数,且对角线长也是整数.

证　假设满足条件的长方体存在,其棱长分别为n-1,n和n+1(n∈N,n≥2),m(m∈N)为其对角线长,则有

(n-1)2+n2+(n+1)2=m2.即

(1)3n2+2=m2

m=(k32+2,矛盾;

3kN)时,3n2+2=(31),也矛盾.

故(1)式不成立,命题正确.3　探索型　

即探索符合条件的几何对象是否存在或探索使几何对象存在的条件.

例8　(1983年加拿大数学竞赛题)三角形的面积由三条边唯一确定.问四面体的体积是否可由四个面的面积唯一确定?

解　如图2,设△OAB为等腰三角形,底AB=a,顶角∠AOB=2θ,则S△OAB=atanθ.

以AB为轴转动.

图2　例8图△OAB至△O′AB,使

OO′=AB,不难算得四面体O′ABO的体积为

2

).V=S2tanθ(1-tanθ

3

显然,V随θ的变化而变化,不依S而唯一确定.

例9　(第17届莫斯科数学奥林匹克9年级试题)问在空间是否存在四个点A,B,C,D,使得AB=CD=8cm,AC=BD=10cm,AD=BC=13cm?

解　作△ABC,使AB=8cm,AC=10cm,BC=13cm.

又作△BCD,使BD=10cm,CD=8cm(可与△ABC不共面).边BC的中点记