利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) limf x 0 及limg x 0；

x a

x a

(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)lim

f x g x

f x g x

f x g x

x a

l，

那么 lim

x a

=lim

x a

l。

法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)limf x 0 及limg x 0；

x

x

(2) A 0，f(x) 和g(x)在 ,A 与 A, 上可导，且g'(x)≠0； (3)lim

f x g x

l，那么 lim

f x g x

x x

=lim

f x g x

x

l。

法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) limf x 及limg x ；

x a

x a

(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)lim

f x g x

f x g x

f x g x

x a

l，

那么 lim

x a

=lim

x a

l。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x 法则也成立。

2.洛必达法则可处理，

00

a

，x

a洛必达

，0 ，1， ，0， 型。

00

00

3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，0 ， 1， ，0，

00

型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 二．高考题处理

1.(2010年全国新课标理)设函数f(x) ex 1 x ax2。（1）若a 0，求f(x)的单调区间；（2）若当x 0时f(x) 0，求a的取值范围

解:（II）当x 0时，f(x) 0，对任意实数a,均在f(x) 0；当x 0时，f(x) 0

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