利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

等价于a

x

x

x 1

x

x

2

令g x

x

x 1

x

2

(x>0),则g (x)

x

x

x 2 x 2

xx

x

3

，令，

h x xe 2e x 2 x 0 ，则h x xe e 1，h x xe 0

x

知h x 在 0, 上为增函数，知h x 在 0, 上为增函数，h x h 0 0；

h x h 0 0； g x 0，g(x)在 0, 上为增函数。由洛必达法则知，

lim

x 0

x

x 1

x

2

lim

x 0

x

2x

lim

x 0

2

x

12

，故a

12

综上，知a的取值范围为

1 , 。

2

2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程

b的值；为x 2y 3 0。（Ⅰ）求a、（Ⅱ）如果当x

0

，且x 1时，f(x)

lnxx 1

kx

，

求k的取值范围。

解：（II）由题设可得，当x 0,x 1时，k<令g (x)=

2xlnx1 x

2

2xlnx1 x

2

1恒成立。

2

1(x 0,x 1),则g x 2

x

2

1 lnx x 1

1 x

2

2

，

1x

x，

再令h x x2 1 lnx x2 1(x 0,x 1)，则h x 2xlnh x 2lnx 1

1x

2

，易知h x 2lnx 1

1x

2

在 0, 上为增函数，且

h 1 0；故当x (0,1)时，h x 0，当x （1，+ ）时，h x 0；

h x 在 0,1 上为减函数，在 1, 上为增函数；故h x

>h 1 =0

，当x （1，

h x 在 0, 上为增函数 h 1 =0 当x (0,1)时，h x 0

+ ）时，h x 0 当x (0,1)时，g x 0，当x （1，+ ）时，g x 0

g x 在 0,1 上为减函数，在 1, 上为增函数

洛必达法则知limg x 2lim

x 1

x 1

xlnx1 x

2

1 2lim

x 1

1 lnx 2x

1

1 2 1 0

2

k 0

，即k的取值范围为（- ，0]

2