利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

近几年，随着新课标在全国的范围内的实施，高考命题也在悄悄发生变化，在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。函数图像的凸凹性，导数中的拐点，拉格朗日中值定理，李普希茨条件，洛必达法则……特别是解答题中的函数与导数题，高等数学的观点尤其突出。虽然高考考试没有要求学生掌握，但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。 例如2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，用初等方法处理，分析难度大，变化技巧高。但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 一．洛必达法则

法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) limf x 0 及limg x 0；

x a

x a

(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)lim

x a

f x

l， g xf x

l。 那么 lim=lim

x agxx ag x法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)limf x 0 及limg x 0；

x

x

f x

(2) A 0，f(x) 和g(x)在 ,A 与 A, 上可导，且g'(x)≠0；

f x

l， (3)lim

x g x那么 lim

f x gxx

=lim

x

f x

l。 g xx a

x a

法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) limf x 及limg x ； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；

f x

l， (3)lim

x ag x那么 lim

x a

f x gx=lim

x a

f x

l。 gx

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x ○成立。

a

，x

a

洛必达法则也