2010-2011学年高中数学 第1章 解三角形 正弦定理和余弦定理 章末整合章末检测同步精品学案 新人教A版必修5

章末整合对点讲练

一、正、余弦定理解三角形的基本问题 例1 在△ABC中，

(1)已知a＝3，b2，B＝45°，求A、C、c；

(2)已知sin A∶sin B∶sin C＝3＋1)∶3－1)10，求最大角．

点拨 (1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A，再求其余的量． (2)先由sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，求出a∶b∶c，再由余弦定理求出最大角．

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解 (1)由正弦定理及已知条件有＝，

sin Asin 45°

3

得sin A＝，∵a>b，∴A>B＝45°，∴A＝60°或120°.

2

bsin C2sin 75°6＋2

当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝

sin Bsin 45°2bsin C2sin 15°62

当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.

sin Bsin 45°2

(2)根据正弦定理可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝(＋1)∶(－1)∶， ∴边c最大，即角C最大．

设a＝(3＋1)k，b＝(3－1)k，c10k，

a2＋b2－c2(3＋1)2＋3－1)2－(10)212π

则cos C＝－∵C∈(0，π)，∴C＝.

2ab232(3＋3－1)回顾归纳 已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能

出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．

变式训练1 (1)△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠C＝30°，求△ABC的面积；

(2)已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝53，求c的长度．

133

解 ＝∴sin B，∴B＝60°或120°，

sin 30°sin B2

3

当B＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝.

2

1当B＝120°时，A＝30°，∴S△ABC＝3×1×sin 30°＝24

33

综上，△ABC的面积为24

1(2)∵S＝absin C，∴sin C＝，于是C＝60°或C＝120°.

22

当C＝60°时，c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝21，∴c＝21； 当C＝120°时，c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab＝61， ∴c＝61.∴c的长度为2161. 二、正、余弦定理在三角形中的应用

例2 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长．已知b2＝ac且a2－c2

＝ac－bc.

bsin B

(1)求∠A的大；(2)求的值．

c

b2＋c2－a2

点拨 (1)利用cos A＝求解；

2bcbsin B

(2)利用正弦定理对代数式

c

解 (1)∵b2＝ac且a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，