初中数学竞赛精品标准教程及练习69：数的整除(三)

初中数学竞赛精品标准教程及练习(69) 数的整除(三)

一、内容提要在第1讲《数的整除(一)》和44讲《数的整除(二)》中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.

同余的概念 两个整数a和b被同一个正整数m除，所得的余数相同时，称a, b关于模m 同余.记作a≡b(mod m).

如：8和15除以7同余1，记作8≡15(mod 7), 读作8和15关于模7同余.

∵2003=7×286+1，

∴2003≡1 (mod 7)；

∵－7和6对于模13同余6（余数是非负数）

∴－7≡6（mod 13）；

∵35和0除以5，余数都是0（即都能整除）

∴35≡0（mod 5）.

用同余式判定数的整除

若a≡b(mod m)， 则m|(a－b).

即a－b≡0(mod m) m|(a－b).

例如：11≡25(mod 7) 7|(25－11)； 或 7|(11－25).

∵25+35≡2+3≡0 (mod 5)，

∴5|25+35.

同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点)一二三

1.传递性： a b(momd) d). a c(momb c(momd)

2.可加可乘性：a b(modm)， a c b d(modm)； c d(modm). ac bd(modm).

推论 可移性：a≡b+c (mod m) (a－b)≡c(mod m).

可倍性：a≡b(mod m) ka≡kb(mod m) (k为正整数).

可乘方：a≡b(mod m) an≡bn(mod m) (n为正整数).

3.当d 是a, b, m的正公因数时， a≡b(mod m) abm (mod ).ddd

如：2是20，26，6的正公因数， 20≡26(mod 6) 10 13(mod 3).

四根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m同余.

即至少有两个，其差能被m 整除.

例如：任给5个数a, b, c, d, e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.

∵除以4的余数只有0，1，2，3四种.

∴5个数除以4至少有两个同余.