立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)

立体几何中的轨迹问题

在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．

立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；

2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．

轨迹问题

【例1】 如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能的是 ( )

A

A． B． C． D．

解析：如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB

∴EG⊥AC

∴AC⊥平面EFG，

∵P∈FG，E∈平面EFG， ∴AC⊥PE．

另解：本题可用排除法快速求解．B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PE AC；C中P点所在的轨

π

迹与CD平行，它与CF成PE AC；D于中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角为

4

锐角，显然也不满足PE AC．

评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．

【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足 时，有MN∥平面B1BDD1．

(2) 正方体ABCD —A1B1C1D1中，P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹

—A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1B1，BC 上的动点，且A1E=BF，P为EF的中点，则点P的轨迹是 线段MN(M、N分别为前右两面的中心)．

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(4) 已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合形成

3

一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ．

A

(1)

C1

AE C

(2)

A

(3)

1

A1

1

A

(4)

C C1

D D

33

若将“在正方体的侧面BCC1B1上到点A的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 3 3

的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ．