利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题

3.已知函数f(x)=x－(1+a)lnx在x=1时，存在极值。（1）求实数a的值；（2）若x>1，mlnx>

解：mlnx

f（x)-1x-1

成立,求正实数m的取值范围

x lnx 1(x 1)lnx

(x 1)(x 1)lnx

lnx(x 1)lnx

1lnx

2

x lnx 1x 1

-1

m

1x 1

2

=g（x）

g(x) (lnx）+（x-1),则g (x) -

1

1x lnx

2

1(x 1)

2

=

x(lnx) (x 1)x(x 1)(lnx)

2

,令

h(x)=

r (x)

x(lnx) (x 1)2lnx 2 2x

x2-2xx

22

h (x) (lnx) 2lnx 2x 2,

2

令r(x) h (x），则

，令M（x）=r(x)，

x)=M（<0,则，r(x)为减，且r(1)=0,则h（x）为减，且h(1)=0,则g(x)为减，这样，g(x)<g(1),存

在

，

x 1

而g(1)

x 1

不对g(x)

x 1x

在

lim

x 1

x=1

x 1

处用

lim

罗比

1

达

法

1

则

，

12

g(x) lim

x 1 lnx(x 1)lnx

lim

1 1/xlnx

xlnx x 1

x

lnx 1 1ln1 2

，则m》1/2. 4.已知函数

f(x)=e,曲线y=f(x)在点(x,y)处的切线为y=g(x).

x

(1) 证明：对于 x R，f(x) g(x); (2) 当x 0时，f(x) 1+解：分离变量：a

x

ax1 x

,恒成立，求实数a的取值范围。 =h(x),去导数，h (x)=

e(x x 1) 1

x

2

x

2

e(1 x) (1 x)

x

x

2

（x>0），分子r(x)=e(x x 1) 1,(x [0, )，扩展定义域]，求导

r (x) e(x 3x） 0，可知，r(x)为定义域内增函数，而（rx）

x

2

r(0)=0.

所以h (x)》0.为增函数。则a h(0)----不存在，罗比达法则可得为1

一、行列式的定义

a1

11

aa

1222

aa

nnn阶行列式的定义：符号

a2

aij an1

an2

ann

叫做n阶行列式．其中aij表示

行列式中第i行第j列上的元素，即第一下标表示行数，第二下标表示列数．如a24表示第2行第4列上的元素．这里只介绍三阶行列式的运算规定以及应用．二阶行列式的定义：符号

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