直线的参数方程在圆锥曲线中的应用

过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为{x=x0+tcosα y=y0+tsinα(t为参数).其中,参数t的绝对值表示直线上的动点M到定点M的距离.

第 3期

高凯：直线的参数方程在圆锥曲线中的应用

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直线的参数方程在圆锥曲线中的应用 ●高凯 (山中学安徽宿州 250)砀 330 即 s +s = . i n i n 6 () 1

过点 goX,o,斜角为的直线 z oY )倾的参数

方程为{

r=

+ t s co a

(为参数 )其中，数 t t .参的

又 0￣s +s _2所以式 ( )<i n i/<, n3 1不成立，直线故 2不存在. 例 2如图 2在平面直角坐标系 x y中，, O已知

【 Y Y 0+tlt snx。

绝对值表示直线上的动点到定点帆的距离.当 点在点的上方时，>; t 0当点在点眠的下方时，<; t 0当点与点重合时，= .面举例 t 0下说明如何巧妙地利用直线的参数方程解决圆锥曲 线问题.

椭等+ 1左右 圆}=的、顶 点为 A,右焦点为设过 B, A

B .

点 (,的直线，与 tm)馏椭圆分别交于点 M(,。, Y ) -

Ⅳ

例 1如图 1所示，椭 2 2

N(,2,中 m>0 Y 2Y )其，1> 0, 2<0 Y . 冉 2

圆 C:+Y x 2=1的顶点为 “ U

图2

A,2B, 2焦点为 F, 1A, 1 B, l t ,

(); 1略 (); 2略

II2 _ 7 s 2= AA l√, l l 图 1

2. s口，B2 1 F2.

( ) t 9求证： 3设=,直线 MN必过轴上的一定点 (坐标与 m无关 )其 .

() 1求椭圆 c的方程. ( ) n是过原点的直线，是与 r垂直相交 2设 Z t于点 P,与椭圆相交于点 A,的直线， I, I =1是否存在上述直线 z得A B=1立？若存在，使 P成 求出直线 z的方程；不存在，说明理由.若请 (0 0年陕西省数学高考试题 ) 21

(00年江苏省数学高考试题 ) 21 证明设直线 MN与轴的交点为 D( 0, p, )

则直线 M N的参数方程为

f= pn0 s f参 ) t i o (为数 .+ t y s 线 A的方程为 M V=+t一 y=P .

() 2

令 M( tcs, n )N( tcs, s 0, p+ 1o0t iO, p+2oOt i )则直

1 s 2n

解 (椭方为+ 1程 ) 1圆程：等=(略 . )过 ( )为 I Pl,以点 P在以原点为圆 2因 =1所 O 心，半径为 1的圆上， p CS￣s a .直线 Z令 ( OO,i )设 n的

cs 3、 o 0+

I (+1; ‘+3J )

参数方程为

直线 B的方程 N y= tcs ( 3●^…+ o0,P _ )… . .一

t cv+￡i 参 ) o s0(数，“ n8为 c y= snc i 将上式代人椭圆的方程得 ( CS 4 i2 )+( cs cs 3 02￣+ s/ n3 6 oa o, s i+ 8+8i s ) n I 3c s+4sn一 1=0. o i 2

3、

因为 A M与 B N的交点为 r 9 m,以将= (, )所 9代 人 A B的方程得 M,N 1 1i O 2tsn 6tsn 2iO P+tc s 1 o 0+ 3 P+t c s—3’ 2o0

于=是 : 由t的几何意义知 =一

= .端 l 2= ,

即

22 tt o0~ t= t+ . t P+ l cs 61 p2 32 2

() 3

将式 ( ) 2代人椭圆方程得 ( cs0+ s ) 0 cst 5一 5=, 5 o 9i O t+1po0+ p ' n 4 0 由韦达定理知

A P I P I B一t 9 -ia 1 P B= A I I P _ I P I= 而 s丁 . t———2 = A 1,=——n=