直线的参数方程在圆锥曲线中的应用

过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为{x=x0+tcosα y=y0+tsinα(t为参数).其中,参数t的绝对值表示直线上的动点M到定点M的距离.

3 0 b 一一——一

中学教研 (学 )数 2 cs p o0 9一P’ t t: l2

21 0 1正

设上述方程的 2个根为 t,,。t则 2 _

tt l2

c

2 x p￣

因此

t2 l: t

),

sl n

由参数 t的几何意义知

代人式 ( ) 3得 t( 4 3=t( 2 2 3 . 1P一 p+ ) 2p+ p一 ) () 4同理可得 =

A . P P:

.

() 5

当且仅当 P 4 3=+一一 p+ p 3=0即 P=1时，,

对于任意的 t,式( ) t: 4恒成立. M故 N必过点(, 1 O. )

() 6

例 3如图 3 P(,o为抛物线 y= p ( , Y) 2 2￣ p>

因为直线佃， D倾斜角互补，以 s =s C所 i n i压 n 由式 ( )式 ( ) 5, 6得 AP BP:C DP. P

0内

部的 (焦点区域 )意一点，点 P且倾斜 )含任过 角互补的 2条直线与抛物线分别交于点 A, C, B,

D,证： A D=/A D求 C _B . _ .

因此 4, C,四点共圆./A D, A D为圆弧 , D又_ C/ B _ .

证明设直线 A,D的倾斜 BC 角分别为 O,则直线 A的参数 l口， B 方程为 ;

A D所对的圆周角，以/A D=/A D所 _ C _B . j

0

从以上例题可以看出，在处理直线与圆锥曲线问题，特别是处理直线被圆锥曲线所截的问题，以 及直线上的定点到交点的距离、点到 2个交点的定

图3

距离的和与积等问题时，妙利用参数的几何意巧义，往能简化解题过程 .往同时，能为我们处理问还题另辟途径，给人耳目一新的感觉 .

代入抛物线方程可得 s 。 2 oia一 p oa t 一 0 o i n+( ys n 2 cs )+ =.

椭圆与双曲线两垂直切线的交点性质 ●林新建 (漳州市第一中学福建漳州 330 ) 600

文献[] 1给出了一些有趣的性质，读后颇受启 发.本文再给出一个类似命题，对命题作深入探并究，现介绍如下. 命题 1如图 1若过椭， ' 2

a

+ -’ l警 D a

+ D

于是直线彻 M

￣ X+=1代人椭圆 c的]O j;x ,

圆c+ 1>>):告= ( 6 o 口 U U

~

A

/ 一

。 —

方程并消去 Y得

厂

上不同点 A,的切线 M B A, M B互相垂直，则这 2条切线 交点的轨迹为圆+ Y= n+6 .

\、\ 图 1

( )( t一=一 鲁即 (吾2。= )2+t2。+ n一 .— ( ) 由 :一 ,邶：一 ,得 :一 1,

证明

设 M(。Y)A(,, , )贝 ,o, Y )B( ,0

切线 M, B的方程分别为 AM + = -, +

J .村 j} 后口：— l b X X2￣ ——

由点 M在 2条切线上得

因此

+

:. 0

() 1