直线的参数方程在圆锥曲线中的应用

第3期高凯：直线的参数方程在圆锥曲线中的应用

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直线的参数方程在圆锥曲线中的应用

●高

凯

（砀山中学

安徽宿州235300）

y0），过点M0（x0，倾斜角为α的直线l的参数方程为

即

2

sin2α+sin2β=6．

2

（1）

{

x=x0+tcosαy=y0+tsinα

（t为参数）．其中，参数t的

又0≤sinα+sinβ≤2，所以式（1）不成立，故直线l不存在．

例2

如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知

x2y2

=1的左、椭圆+右顶

95B，点为A，右焦点为F．设过m）的直线TA，TB与点T（t，

y1），椭圆分别交于点M（x1，N（x2，y2），y1＞其中m＞0，y2＜0．0，

（1）略；（2）略；

（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

（2010年江苏省数学高考试题）

证明

0），设直线MN与x轴的交点为D（p，

则直线MN的参数方程为

图2

绝对值表示直线上的动点M到定点M0的距离．当t＞0；当点M在点M0的下点M在点M0的上方时，

t＜0；当点M与点M0重合时，t=0．下面举例方时，

说明如何巧妙地利用直线的参数方程解决圆锥曲线问题．

例1

如图1所示，椭

x2y2

圆C：2+2=1的顶点为

abA1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，|A1A2|=SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2．

（1）求椭圆C的方程．

（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交

→

B的直线，|OP|=1，与椭圆相交于点A，是于点P，

→→

否存在上述直线l使得AP·PB=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

（2010年陕西省数学高考试题）

x2y2

+=1（过程略）．解（1）椭圆方程为：43

→

（2）因为|OP|=1，所以点P在以原点为圆sinα）．设直线l的心，半径为1的圆上，令P（cosα，参数方程为

图1

{y=tsinθ

线AM的方程为

y=

直线BN的方程

x=p+tcosθ

（t为参数）．（2）

t1sinθ），N（p+t2cosθ，t2sinθ），令M（p+t1cosθ，则直

t1sinθ

（x+3）；

p+t1cosθ+3t2sinθ

（x－3）．

p+t2cosθ－3

{

x=cosα+tcosβy=sinα+tsinβ

（t为参数），

y=

将上式代入椭圆的方程得

（3cos2β+4sin2β）t2+（6cosαcosβ+8sinαsinβ）t+

3cos2α+4sin2α－12=0，

3cos2α+4sin2α－12sin2α－9

=．于是t1t2=

3cos2β+4sin2β3+sin2β由t的几何意义知

→→→→9－sin2α

AP·PB=|AP|·|PB|=－t1t2==1，

3+sin2β

m），因为AM与BN的交点为T（9，所以将x=9代BN的方程得入AM，

6t2sinθ12t1sinθ=，

p+t1cosθ+3p+t2cosθ－3

即

2t2p+t1t2cosθ－6t1=pt2+3t2．

（3）

将式（2）代入椭圆方程得

（5cos2θ+9sin2θ）t2+10pcosθt+5p2－45=0，由韦达定理知