柯西不等式习题

柯西不等式习题

一、二维形式的柯西不等式

(a b)(c d) (ac bd)

2

2

2

2

2

(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)

二、二维形式的柯西不等式的变式

(1)a b c d(2)a b c d

2

2

2

2

2

2

2

ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.) ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)

bd)(a,b,c,d 0,当且仅当ad bc时，等号成立

.)

2

2

(3)(a b)(c d)

(

ac

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

(当且仅当 是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号成立.)

借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。 基本方法 （1）巧拆常数：

例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：

2a b

2b c

2c a

9a b c

（2）重新安排某些项的次序：

例2：a、b为非负数，a+b=1，x1,x2 R 求证：(ax1 bx2)(bx1 ax2) x1x2 （3）改变结构：

例3、若a>b>c 求证：（4）添项：

b cc aa b2

【1】、设a ( 2,1,2), b 6，则a b之最小值为________；此时b ________。

答案： 18; (4, 2, 4) 解析：a b ab ∴a b 18 ∴ 18 a b 18

b 2a (4, 2, 4) 之最小值为 18，此时a b

【2】 设a (1，0， 2)，b (x，y，z)，若x2 y2 z2 16，则ab的最大值为

1a b

1b c

4a c

例4：a,b,c R 求证：

a

b

c

3

。

【解】

∵ (x，y，z) ∴ x 2z 由柯西不等式[12 0 ( 2)2](x2 y2 z2) (x 0 2z)2 5 16 (x 2z)2 45 x 45

45 a．b 45，故a．b的最大值为

45

【3】空间二向量a (1,2,3)，b (x,y,z)，已知b

a (1，0， 2)，b

a

．b

则(1)a b的最大值为多少？(2)此时b ？ Ans：(1) 28：(2) (2,4,6)

1