柯西不等式习题

柯西不等式习题

【4】设a、b、c为正数，求(a b c)(

a

49b

36c

)的最小值。Ans：121

【5】. 设x，y，z R，且满足x2 y2 z2 5，则x 2y 3z之最大值为解(x 2y 3z)2 (x2 y2 z2)(12 22 32) 5．14 70 ∴ x 2y 3z最大值为70

【6】 设x，y，z R，若x2 y2 z2 4，则x 2y 2z之最小值为(x，y，z) 解(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)[12 ( 2) 2 22] 4．9 36 ∴ x 2y 2z最小值为 6

此时∴ x

23

x1

y 2

z2

6

2 ( 2) 2

2

2

2

23

，y

43

，z

43

【7】设x,y,z R，x2 y2 z2 25，试求x 2y 2z的最大值M与最小值m。 Ans：M 15;m 15

【8】、设x, y, z R, x2 y2 z2 25，试求x 2y 2z的最大值与最小值。

答：根据柯西不等式

(1 x 2 y 2 z) [1 ( 2) 2](x y z) 即(x 2y 2z) 9 25 而有 15 x 2y 2z 15

故x 2y 2z的最大值为15，最小值为–15。

2

2

2

2

2

2

2

2

【9】、设x, y, z R, 2x y 2z 6，试求x2 y2 z2之最小值。

答案：考虑以下两组向量

u = ( 2, –1, –2) v =( x, y, z ) 根据柯西不等式(u v)2 u v，就有

[2x ( 1)y ( 2)z]2 [22 ( 1)2 ( 2)2](x2 y2 z2)即

(2x y 2z)2 9(x2 y2 z2) 将2x y 2z 6代入其中，得 36 9(x2 y2 z2) 而有 x2 y2 z2 4 故x2 y2 z2之最小值为4。

【10】设x,y,z R，2x y 2z 6，求x2 y2 z2的最小值m，并求此时x、y、z之值。 Ans：m 4;(x,y,z) (, , )

3

3

3

4

2

4

2

2

【11】 设x，y，z R，2x 2y z 8 0，则(x 1)2 (y 2)2 (z 3)2之最小值为

解： 2x 2y z 8 0 2(x 1) 2(y 2) (z 3) 9，

考虑以下两组向量 u = ( , , ) ，v =( , , ) (u v)2 u v

[2(x 1) 2(y 2) (z 3)]2 [(x 1)2 (y 2) 2 (z 3) 2]．(22 22 12) (x 1)2 (y 2) 2 (z 3) 2

【12】设x, y, z R，若2x 3y z 3，则x2 (y 1)2 z2之最小值为________，又此时y ________。

2

2

2

( 9)9

2

9