1.5不等式证明的基本方法

学校：临清二中 学科：数学 编写人：马英济

1.5.1 1.5.2 不等式的证明方法（一）

教学目标：了解证明不等式的最基本的基本方法即比较法、综合法、分析法. 教学重点、难点：分析法 教学过程：

一、情景引入：

不等式历来是高考的重点内容。对于本节来讲，复习有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。要在思想方法上下功夫。

.要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

a b a b 0

a b a b 0 a b a b 0

比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。

综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。

所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。 二、精讲精练：

ab

例1、 设a>0，b>0，求证：≥a b。

ba

分析：当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。

解：左-右=

ab ba

a b a ba bb b aa

(a b)(

1b 1a

) (a b)

bab

( b)2

≥0

∴ 左≥右 即原不等式成立.

点评：⑴做差；变形整理；判断差式的正负，该法尤其适用于具有多项式结构特征的不

等式的证明.⑵本题中应注意做差后分组的原则，是以提取公因式从而判定差式的结果是大于零还是小于零为目的.

变式训练1：课本P24练习第7题.

an bn cn

, 例2：已知a,b,c为正数，n是正整数，且f(n) lg

3

求证：2f(n) f(2n).