当前位置： 文档下载 > 所有分类 > 自然科学 > 数学 > 证明不等式的方法放缩法证明不等式
1、添加或舍弃一些正项（或负项）
ann1a1a2n
【例1】已知an 2 1（n N），求证：（n N ）． 23a2a3an 12
n
ak2k 11111111
k 1 （k 1、2、3、 、n）【解析】 ∵，ak 12 122(2k 1 1)23 2k 2k 2232k
ana1a2n1111n11n1
( ) (1 ) ，∴∴2nna2a3an 12322223223
an1a1a2n
n （n N ）． 23a2a3an 12
【点评】若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小．由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的．本题在放缩时就舍去了2k 2，从而是使和式得到化简．
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
114x
f(1) f(2) f(n) n 【例2】函数f(x) ，求证：（n N ）． n 1x
221 44n11
【解析】 由f(n) 得： 1 1
1 4n1 4n2 2n
f(1) f(2) f(n) 1
（n N ）．
11111111
1 1 n (1 ) n 2 212 222 2n422n 12n 12
【点评】此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和．若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式．如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．
3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
【例3】已知：an n，求证：
a
k 1
n
k
2
k
3．
n
12
1
(k 1)k(k 1)(k 1)(k 1)(k 1 k 1)k 2
【解析】
a
k 1
n
k
2
k
k 1
n
1k
3
1
k 2
n
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