高中数学竞赛专题讲座之二：数列

高中数学竞赛专题讲座之二：数列

一、选择题部分

1．（2006年江苏）已知数列 an 的通项公式an

A．a1

B．a2

2

，则 an 的最大项是（B） 2

n 4n 5C．a3 D．a4

23

2．（2006安徽初赛）正数列满足a1 1,a2 10,anan 2 10an t n 3 ，则lg(a100) （ ）

A．98 B．99 C．100 D．101 3．（2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2， ，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、 sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+ pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2， ，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2， ，p2006)的“蔡查罗和”为 （A） A．2007 B．2008 C．2006 D．1004

4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等 式|Sn-n-6|<

A．5

1

的最小整数n是 125

B．6

C．7

D．8

（ ）

解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-

1

的等比数列， 3

1

8[1 ( )n]

111∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+ +(an-1)==6-6×(-)n，∴|Sn-n-6|=6×()n<，得：3n-1>250，∴满

1331251 3

足条件的最小整数n=7，故选C。

5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=

A．1

B．-1

3xn 1 xn

2005

，则

x

n 1

n

= （ ） D．-2+

C．2+

解：xn+1=

xn 1

xn3

，令x=tanα，∴x=tan(α+ ), ∴x=x, x=1，x=2+, x=-2-3, x=-1,

nnn+1nn+6n1234

6

2005

x5=-2+3, x6=2-3, x7=1， ，∴有

x

n 1

n

x1 1。故选A。

{bn}的前n项和分别为An，Bn记Cn an Bn bn An an bn(n 1)6．（2006陕西赛区预赛）已知数列{an}、

则数列{Cn}的前10项和为

A．A10 B10

B．

（C） C．A10 B10

D

A10 B10

2

7．（2006年浙江省预赛）设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如

f(123) 12 22 32 14。记f1(n) f(n)，fk 1(n) f(fk(n))，k 1,2,3, ，则f2006(2006)＝

A．20 B．4 C．42 解：将f(2006) 40记做2006 40，于是有

（D） D．145

2006 40 16 37 58 89 145 42 20 4 16 从16开始，fn是周期为8的周期数列.

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