05【数学】高中数学竞赛讲义-函数的基本性质

高中数学联赛 奥林匹克竞赛 讲义

§4函数的基本性质

函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.

I．函数的定义

设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合，A叫做函数f(x)的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然C B.

II．函数的性质

（1）奇偶性 设函数f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集.若对任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数.

（2）函数的增减性 设函数f(x)在区间D′上满足：对任意x1, x2∈D′，并且x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)),则称f(x)在区间D′上的增函数（减函数），区间D′称为f(x)的一个单调增（减）区间.

III．函数的周期性

对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小值正周期.

例题讲解

1．已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)( )

A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增

C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增

2．设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2003)＝( ) 2

A.－1 B.0 C.1 D.2003

3．定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )

A.150 B.303 2C.152 D.305 2

4．实数x，y满足x2＝2xsin(xy)－1，则x1998＋6sin5y＝______________.

5．已知x＝ 是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝__________.

6．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求