高一数学思想精讲--转化与化归思想

高一数学思想精讲--转化与化归

转化与化归思想

一、知点透析

解某些数学问题时，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法称之为“转化与化归思想”.转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程；化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题．

应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化。常见的转化策略有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等类型。

常用的方法有：

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.

（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.

（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得转化途径.

（4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化.

（5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.

（6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题.

（7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论.

（8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题.

（9）一般化方法：当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时，可将问题

通过一般化的途径进行转化.

（10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的.

（11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题

的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化方法.

（12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题

的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集

小试身手

1、设集合A {1,2},则满足A B {1,2,3}的集合B的个数是（ ）

A.1 B.3 C.4 D.8 获得原问题的解决.

x 1, 222、已知 x y 1 0,则x y的最小值是 2x y 2 0

例题精讲

问题1：正与反的转化

若下列方程：x2 4ax 4a 3 0，x2 (a 1)x a2 0，x2 2ax 2=0中至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围.