高一数学思想精讲--转化与化归思想

高一数学思想精讲--转化与化归

分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况有一种：三个方程均没有实数. 先求出反面情况时a的范围，取所得范围的补集就是正面情况的答案.

1 3 1 16a2 4( 4a 3) 0, a , 22 解：设三个方程均无实根，则有 (a 1)2 4a2 0, 解得 213 a 1或a , 即 a 1. 232 4a 4( 2a) 0. 3 2 a 0.

所以当a 1或a 3时，三个方程至少有一个方程有实根. 2

【评注】对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。

问题2 数与形的转化

1 1 例2、设a，b，c均为正数，且2a log1a， log1b， log2c．则（ ） 2 2 22

A．a b c

解析：这里要比较a，b，c三个正数的大小，而由已知条件很难求出a，b，c三个数的准确值。由已知条件可知a，b，c分别是指数函数与对数函数图象交点的横坐标，因此可利用化归转化数学思想的“数与形的相互转化”来进行解题。

答案：在同一直角坐标系下画出函数y1 2x与B．c b a C．c a b D．b a c bcy1y2 ()x与y3 log1x及y4 log2x的图象（如图所22

示）则a表示的是函数y1 2与y3 log1x交点的横

2x2x

坐标的值，同理有：b表示的是函数y2 ()与1

2xx

2y3 log1x交点的横坐标的值，c表示的是函数

2

1y2 ()x与y4 log2x交点的横坐标的值，则有：a b c．故选A。 2

点评：通过发掘函数式的几何意义，将代数问题转化为函数问题或几何问题或解析几何，然后利用函数图象或几何图形来解决，这也是近年来高考中常用的解题方法。

问题3 相等与不等之间的转化

如利用均值不等式、判别式等.

例3 已知二次函数f（x）=ax2+2x－2a－1，其中x=2sinθ（0<θ≤

=0恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围．

7 ）．若二次方程f（x）6