第十五讲统计的思想方法(2014年初中数学培优提高)

第十五讲 统计的思想方法

20世纪90年代,美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的《数字化生存》一书.事实上,我们的生活、工作离不开数据,要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求.统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据,并在此基础上作出推断的科学.

随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法,也是认识客观世界的事物和现象的方法之一.即用样本的某种特征去估计总体的相应特征,用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律. 【例题求解】【例1】 现有A,B两个班级,每个班级各有45名学生参加一次测验.每名参加者可获得0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分这几种不同的分值中的一种.测试结果A班的成绩如下表所示,B班的成绩如图所示. (1)由观察所得班的标准差较大;

(2)若两班合计共有60人及格,问参加者最少获.

思路点拨 对于(2),数一数两班在某一分数以上的人数即可,凭直觉与估计得出答案.

注: 平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数,但是它们描述集中趋势的侧重点是不同的:

(1)平均数易受数据中少数异常值的影响,有时难以真正反映“平均”;

(2)若一组数据有数据多次重复出现,则常用众数来刻画这组数据的集中趋势. 【例2】 已知数据x1、x2、x3的平均数为a,y1、y2、y3的平均数为b,则数据2x1 3y1、2x2 3y2、2x3 3y3的平均数为( )

A.2a+3b B.a b C.6a+9b D.2a+b

思路点拨 运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数.

【例3】 某班同学参加环保知识竞赛.将学生的成绩(得分取整数)进行整理后分成五组,绘成频率分布直方图(如图).图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1:3:6:4:2,最右边—组的频数是6.结合直方图提供的信息,解答下列问题:

(1)该班共有多少名同学参赛?

(2)成绩落在哪组数据范围内的人数最多,是多少?

(3)求成绩在60分以上(不含60分)的学生占全班参赛人数的百分率. 思路点拨 读图、读懂图,从图中获取频率、组距等相关信息.

【例4】 为估计,一次性木质筷子的用量,1999年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本,这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为:0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0 (1)通过对样本的计算,估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算);

(2)2001年又刘该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查,调查的结果是l0个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒,求该县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率(2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同);

(3)在(2)的条件下,若生产一套中小学生桌椅需木材0.07米3,求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅.计算中需用的有关数据为:

每盒筷子100双,每双筷子的质量为5克,所用木材的密度为0.5×103 千克／米3;

(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量,如何利用统计知识去做,简要地用文字表述出来.

思路点拨 用样本的平均水平去估计总体的平均水平.

注:(1)运用数学知识解决实际问题的过程是:从实际问题中获取必要的信息——分析处理有关信息——建立数学模型——解决这个数学问题.

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