一元二次方程实根的分布

一元二次方程实根的分布

一元二次方程实根的分布

一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。

一．一元二次方程实根的基本分布——零分布

一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。 一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的两个实数根为x1、x2，则 x1、x2均为正 △≥0，x1＋x2＞0，x1x2＞0； x1、x2均为负 △≥0，x1＋x2＜0，x1x2＞0；

x1、x2一正一负 x1x2＜0。

例1．关于x的一元二次方程8x2 (m 1)x m 7 0有两个负数根，求实数m取值范围。

≥0 ①

解：设两个实数根为x1、x2，依题意有 x1 x2 0 ②

x1x2 0 ③

由①得：(m 1) 32(m 7)≥0，(m 15)≥0，恒成立。 由②得： 由③得：

m 1

22

8m 78

＜0，解之，m＞ 1。

＞0，解之，m＞7。

综上，m的取值范围是m＞7。

例2．若n＞0，关于x的方程x (m 2n)x 值。

0 ①

解：设两个实数根为x1、x2，依题意有 x1 x2＞0 ②

x1x2 0 ③

2

由①得：(m 2n) mn 0，(m n)(m 4n) 0，∴m n或m 4n。

2

14

mn 0有两个相等的正实数根，求

mn

的

若m n，则x1＋x2 m 2n n 2n n＜0，不符合②，舍去。