一元二次方程实根的分布

一元二次方程实根的分布

故m 4n，此时均符合②、③， ∴

mn 4nn 4。

二．一元二次方程实根的非零分布——k分布

设一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的两实根为x1、x2，且x1 x2，k为常数。则一元二次方程实根的k分布指x1、x2相对于k的关系，例如x1、x2均比k大，或者x1、x2均比k小，或者x1、x2一个比k大，一个比k小等等。

（x1－k）＋（x2－k）＞0，（x1－k）（x2－k）＞0； x1、x2均比常数k大 △≥0，

（x1－k）＋（x2－k）＜0，（x1－k）（x2－k）＞0； x1、x2均比常数k小 △≥0，

（x1－k）（x2－k）＜0。 x1、x2一个比k大，一个比k小 △＞0，

例3．若方程x2 2ax 4a 3 0的两根均大于1，求实数a的取值范围。 解：设两个实数根为x1、x2，由韦达定理得：x1＋x2 2a，x1x2 4a 3。

Δ≥0 ①

依题意有 (x1 1) (x2 1)＞0 ②

(x1 1)(x2 1)＞0 ③

由①得：4a 4(4a 3)≥0，解之，a≤1或a≥3。

由②得：2a＞2，解之，a＞1。

由③得：4a 3 2a 1＞0，解之，a＞1。 综上，a的取值范围是a≥3。

当所考查的根的分布不仅仅限于正负性时，比如两个实数根都介于2与4之间（不包括2和4），或者两根中一根介于0与1之间，另一个根介于3与4之间，这时用根的判别式及韦达定理解决问题就相当复杂。那么比较朴素的方法就是直接去求出方程的根，但是这一方法有两个弊端：第一，带有参数的方程求根是个较复杂的过程，且涉及较深的不等式解法：第二，抽象数量运算较多，缺乏直观性。这时借助于二次函数图像，就比较直观且容易理解。

我们知道，如果二次函数f(x) ax bx c(a 0)的图像与x轴有交点，那么交点的横坐标即为二次方程ax bx c 0(a 0)的实数根。反之亦然。利用这一点来看

问题1：什么条件下，二次方程ax bx c 0(a 0)两个实数根x1、x2一个比t大，另一个比t小（t是给定的常数）？

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