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第1章 电动力学的数学基础与基本理论
1.1 A类练习题
1.1.1 利用 算符的双重性质，证明
rrrrrr2
（1） ×( A)= ×A+ ×A，（2） ×( ×A)= ( A) A
证 （1）根据 算符的微分性质有
rrrrr
×( A)= ×( A)+ A×( A)= ×A+ A×( A)
r
其中 或 A分别表示只对 或A作用。由于 A对标量函数只能取梯度，故
rr
A×( A)=( A )×A
因此
rrr ×( A)= ×A+( A )×A
r
去掉算符的角标，即可得到要证明的等式。
rrrrrrrrrrr
×( ×A)= ( A) ( )A
rrr
注意：第一， ( A)不能写成( A) ，否则将失去意义；第二，这里仅有一个函数A，
（2）根据 算符的矢量性质及公式a×(b×c)=(a c)b (a b)c，有 故不用算符的微分性质即可证明。
1.1.2 证明以下几个常用等式，其中r=(x x′)ex+(y y′)ey+(z z′)ez,a为常数，
rrrrr
u=u(x,y,z)。 vr
1rrrrr
（1） r= ′ r=3，（2） ×r=0，（3） r= ′r=，（4） = 3，
rrrrrrrrdArrrrr
×3=0， 3= ′ 3=0(r≠0)， ×A(u)= u×。 (a r)，（5）（6）（7）（8）
rrrdur (x x′) (y y′) (z z)
++=3 证 （1） r=
x y zr (x x′) (y y′) (z z)′ r=++= 3
x′ y′ z′
rr
所以 r= ′ r=3。
rrrexeyez r
=0 （2） ×r=
x y zx x′y y′z z′
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