初中数学竞赛讲座——数论部分3(素数与合数)

第三讲素数与合数

一、基础知识：

对于任意正整数n>1，如果除1和n本身以外，没有其它的因数，那么称n为素数，否则n称为合数。这样，我们将正整数分为了三类：1，素数，合数。

例如：2，3，5，7，11，…都是质数。1既不是质数也不是和数。1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。

质数p和a互质，必要而且只要p| a事实上，若p|a，则p和a除±1外还有公因数\

±p，故二者不互质。若p| a，则±p当然就不是p,a的公因数；但除了±p，只有±1才可\

能是p的因数，所以只有±1才可能是p，a的公因数，即二者互质。显然任意两个不同的质数互质。

质数的性质

性质1．素数中只有一个数是偶数，它是2.

性质2．设n为大于1的正整数，p是n的大于1的因数中最小的正整数，则p为素数。性质3．设a 是任意一个大于1的整数，则a 的除1 外最小正因数q 是一质数，并且当a 是合数时，

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q 证明：假设q不是质数，则由定义可知q除1及本身以外还有一正因数，设它为b，因而1<b<q。但q|a ，所以b|a，这与q是a的除1外的最小正因数矛盾，因而q是质数。

当a是合数时，则a=c·q 且c>1，否则a是质数。由于q是a的除1外的最小正因数，所以q小于等于c ，q2 qc=a 故

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换言之，

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说明：此性质表明，一个合数a

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一定是不大于

如果所有不大于。a，那么a一定是质数（作为性质4如下）此性质是我们检验一个数是否为素数的最常用的方法。例如判断191是不是素数。

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因为不大于的素数有2,3,5,7,11,13，由于191不能被2,3,5,7,11,13整除，所以191是质数。

这种方法还可以求不大于a的所有素数，例如，求50以内的全体素数。由于

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不大于的质数有：2,3,5,7，可以在2,3,4,

,50中依次划去2,3,5,7的倍数（保

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