当前位置： 文档下载 > 所有分类 > 初中教育 > 学科竞赛 > 初中数学竞赛讲座——数论部分2(整数的整除性)第二讲 整数的整除性
一、基础知识：
1．整除的基本概念与性质
所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．
定义： 设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．也称b是a的约数，a是b的倍数。
如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba．
关于整数的整除，有如下一些基本性质：
性质1若a|b,b|c，则a|c
证明：∵a|b,b|c，∴b ap,c bq（p,q是整数），
∴c (ap)q (pq)a，∴a|c
性质2 若a｜b，b｜a，则 |a|=|b|．
性质3 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)，且对任意整数m，n，有c｜(ma±nb)．
证明：∵a|b,a|c，∴b ap,c aq(b,q是整数），
∴b c ap aq a(p q)，∴a|(b c)
性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．特别地，对于任意的非零整数m，有bm｜am
性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．
性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a
【此处[b，c]为b，c的最小公倍数；(b，c)为b，c的最大公约数】．
性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．
性质8 n个连续整数中，必有一个能被n整除．
【特别地：两个连续整数必有一偶数；三个连续整数必有一个被3整除，如11，12，13中有3 | 12；41，42，43，44中有4 |44；77，78，79，80，81中5 | 80．】
二．证明整除的基本方法
证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法等．下面举例说明．
例1若a｜n，b｜n，且存在整数x，y，使得ax+by=1，证明：ab|n．
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