一维连续型随机变量及其分布

概率统计

第三章连续型随机变量及其分布 分布函数一维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布连续性随机变量函数的密度函数

3.1一维连续型随机变量及其分布 一、分布函数的概念对于非离散型随机变量X,由于其可能取的值不能一个一个地列举出来，因而就不能象离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间内的概率：P{x1<X≤x2}由于 P{x1<X≤x2}=P{X≤x2} - P{X≤x1}下面引入随机变量的分布函数的定义

定义设X是一个随机变量， x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x}称为随机变量X的分布函数。易知，对任意实数a, b (a<b), P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}= F(b)-F(a).

分布函数的性质 设F (x)为随机变量X的分布函数，则 1、单调不减性：若x1<x2,则F(x1)≤F(x2); 2、非负规范性：对任意实数x,0≤F(x)≤1,且 F (∞ )= lim F ( x )= 0, F (+∞ )= lim F ( x )= 1; x→∞ x→+∞

3、右连续性：对任意实数x, F(x0+ 0)= limF(x)= F(x0 ).+ x→x0

这三个性质是分布函数的充分必要性质。

例1设随机变量X的分布律为 X P 0 0.1 1 0.6 2 0.3

例2一个靶子是一个半径为2m的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机离量X的分布函数。解：若x<0,则F(x)=P{X≤x}=0; F(x)

试求出X的分布函数。解：其图形如右

若0≤x≤2,由题意P{0≤X≤x}=kx2

1 x< 0 0, 0 .1, 0≤ x<1。 F ( x )= 1≤ x< 2 0 0 .1+ 0 .6, 0 .1+ 0 .6+ 0 .3, x≥ 2

。 1

。 2

取x=2,有P{0≤X≤2}=k22=1,故k=1/4

x

即P{0≤X≤x}=x2/4若x≥2,由题意{X≤x}=是必然事件，于是 F(x)=P{X≤x}=1