3.3二维连续型随机变量函数的分布

概率统计

五、随机变量的相互独立性 1、随机变量相互独立的一般定义设X1,X2,…,Xn为n个随机变量，若对任意(x1, x2,…, xn)∈Rn,有 P{X1≤x1,…, Xn≤xn}=P{X1≤x1}…P{Xn≤xn}即 F(x1, x2,…, xn)=FX1(x1)FX2(x2)…FXn(xn),则称X1,X2,…,Xn相互独立。

2、随机变量相互独立的等价定义 对于离散型随机变量的情形，设离散型随机变量(X,Y)的概率分布为 P{X=xi,Y=yj}=pij (i,j=1,2,……) (X,Y)关于X和Y的边缘分布律分别为 P{X=xi}=pi. i=1,2,…… P{Y=yj}=p.j j=1,2,……若对一切i,j有P{X=xi,Y=yj}= P{X=xi} .P{Y=yj},即 pij=pi. p.j则称X和Y相互独立

对于连续型随机变量的情形定理1设(X, Y)~f (x, y), (x, y)∈R, fX(x), fY(y)分别为X与Y的边缘密度，则X与Y相互独立等价于 f (x, y)= fX(x)fY(y),对任意(x, y)∈R2几乎处处成立。易知，对任意(x, y)∈R2 f (x, y)= fX(x)fY(y) fX|Y(x|y)= fX(x)或 fY|X(y|x)=fY(y). 2

例：一负责人到达办公室的时间均匀分布在 8~12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时，设他们两人到达的时间是相互独立的，求他们到办公室的时间相差不超过5分钟 (1/12小时)的概率。解：设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，则X和Y的概率密度分别为 1/ 4, 8< x< 12 f X ( x)= else 0, 1/ 2, 7< y< 9 fY ( y )= else 0,

因X、Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为 1 1 1 =, 8< x< 12,7< y< 9 f ( x, y )= 4 2 8 0, else

定理1可以推广到n维连续型随机变量的情形:设X1,X2,…,Xn为n个连续型随机变量，若对任意的(x1, x2,…, xn)∈Rn,

f (x1, x2,…, xn)=fX (x1)fX (x2)…fX (xn) 1 2 n

两人到办公室的时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率为

几乎处处成立，则称X1,X2,…,Xn相互独立。定理2设(X1, X2,…, Xn )与(Y1, Y2,…, Yn )相互独立，则Xi (i=1, 2,…, m)与Yj (j=1, 2,…, n)相互独立；又若h, g是连续函数，则h(X1, X2,…, Xn )与 g(Y1, Y2,…, Yn )相互独立.

P{| X Y|≤

1 1 1 1}=∫∫ f ( x, y ) dxdy== 8 6 48 12 G