数学归纳法习题

数学归纳法

§11.5 数学归纳法

(时间：50分钟 满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在

第二步时，正确的证法是 ( )

A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立

C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立

解析：A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．

答案：D

1112．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋＋＋ ＋<n(n∈N*，n>1)”时，由n＝ 232－1

k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是 ( )

A．2k1 B．2k－1 －

C．2k D．2k＋1

解析：增加的项数为(2k1－1)－(2k－1)＝2k1－2k＝2k. ＋＋

答案：C

3．(2011·巢湖联考)n＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如

下：

(1)当n＝1时，1＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，k＋k<k＋1，则当n＝k＋1 k＋1 ＋ k＋1 ＝k＋3k＋2< k＋3k＋2 ＋ k＋2 ＝ k＋2 ＝(k＋1)＋1，

∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法 ( )

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．

答案：D

4．用数学归纳法证明“n2＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k

＋1时的情况，只需展开 ( )

A．(k＋3)3 B．(k＋2)3

C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3

解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k2＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．

当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．

答案：A

5．用数学归纳法证明不等式11113n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推 2n14n＋1n＋2

到n＝k＋1时不等式左边 ( )