用数学归纳法证明递推不等式的几点技巧

2007年第2期　　　　　　　　　　　　　数学教学研究35

k+1

n

∵∴故k

k+1-k<k-k+1+

k-1,

<

k-1

nk=2

=k-1k-1

-k-1<2k,

(k≥2)

k+1+1

)

<

k+1+

k-1

=k+1-k-1.

k=1

k

3

<1+∑-2-

代入(3)式并进行第二次放大:

k

3

=1+11

k

k+1

k-1

<3.聂文喜

(湖北省广水市第一中学　432700)

　　一类与n有关的递推不等式,在用数学归纳法直接证明时,归纳过度往往有一定的困难,或者根本证不出来,此时若能强化命题或增加起点或两次运用归纳假设或利用n=n0的结论或证明其等价命题,就可以顺利地完成归纳过渡,下面举例说明.

1　加强命题

+2

则　ak+1(k+1)ak=

(k+1)+ak+1ak

(k+1)+1

b()(k+1)+(k+1)f(k)b+b

==

例1　(2004年湖北省高考题)已知不等式

+…+>[log2n],其中n为大于2的整数,3n2[log2n]表示不超过log2n的最大整数,设数列{an}

nan+an-1

1+(f(k))bk+1

=

,

1+f(k+1)b

即当n=k+1时,不等式成立.

由①、②知an,n=3,4,5,….

1+f(n)b例2　(1997年加拿大奥林匹克试题)设0<a<

1,定义a1=1+a,an+1=

an的各项为正,且满足a1=b>0,an,n=2,3,

4,….证明:an,n=2,3,4,….

2+b[log2n]

分析　直接用数学归纳法证明很困难,记f(n)

=

+…+,根据题设条件可将命题加强为23n

+a,求证:对一切非零自

然数n,有an>1.

分析　假设n=k时,ak>1,则n=k+1时,ak+1

=aak

an,即an.

2+2bf(n)1+bf(n)

<1+a,证不出ak+1>1,故需要加强命题.

ak

证明　①当n=3时,由a33a2=≤3+a2+1

a2

要证ak+1>1,只需证a+将命题加强为1<an<

>1,即ak<

,只需1-a

=,知不等式成立.

2+a1+f(3)b3+1

2a1

.1-a

证明　①当n=1时,a1=1+a>1,又1-a2<1,∴a+1,即1<a1<.1-a1-a

②假设n=k(k≥3)时不等式成立,即

ak,

1+f(k)b