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2012年全国高中数学联赛辅导专题材料不定方程(山东济南历城二中王峰)

2012年 全国高中数学联赛 数论专题 不定方程 山东济南 历城二中 奥数 王峰

一、余数分析法

将不定方程的解按某个正整数m的余数分类，或者，考察方程中的项对某个正整数的余数，再进行分析。

例1 证明：若n = 9k t，t = 3，4，5或6，k Z，则方程x3

没有整数解。

解 对任意的整数x，y，记

x = 3q1 r1，y = 3q2 r2，0 r1, r2 2，q1, q2 Z， 则x3 r13 R1 (mod 9)，y3 r23 R2 (mod 9)，x3 y3 R (mod 9)，

其中R1 = 0，1或8，R2 = 0，1或8，R = 0，1，2，7或8。 由此得到所要证明的结论。

例2 证明方程3x 1 = 5y 7z (1)除x = y = z = 0外没有其他整数解。

解 设(x, y, z)是方程(1)的解。容易证明：x 0，y 0，z 0。 若x > 0，则由式(1)，有5y 7z 1 (mod 3)， 2y 1 1，2y 0 (mod 3)，

因此，3 2y，这是不可能的。所以必是x = 0, 于是式(1)成为 5y 7z = 2。

由于y 0，z 0，所以由上式推出y = z = 0。 例3 证明：若实数x与y满足方程x2 3y2 = 2， (2) 则x与y不能都是有理数。

y

3

n

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