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2012年全国高中数学联赛辅导专题材料不定方程(山东济南历城二中王峰)

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不定方程 山东 济南 王峰 不定方程的常用解法

不定方程是初等数论的重要研究对象，求解（或证明无解）不定方程没有统一的方法，或许正因为如此，对同一问题的处理又存在风格不同的解法。下面列出的是一些常见的处理手法。

因式分解法（因数分析） 对方程的一边进行因式分解，另一边作质因数分解（当然，这时要求方程有一边是常数），然后对比两边，转为求解若干个方程组。

配方法 将方程的一边变为平方和的形式，另一边为常数，常用不等式予以处理。

不等式估计 利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，。再分别处理。

取模同余方法（余数分析法，特别地，奇偶分析法）

如果不定方程F(x1, ,xn)=0有整数解，则对任意m N*，其整数解(x1, ,xn)满足F(x1, ,xn) 0(modm). 利用这一条件，同余可以作为探求不定方程整数解的一块试金石。

构造法 在不易得出方程的全部解时，通过构造法可以提供其部分解，从而证明该方程有解或者有无穷多个解，适合于处理存在性问题。

无穷递降法 适合证明不定方程没有正整数解。

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