高中数学竞赛_奥林匹克数学的技巧(下篇)

高中数学竞赛讲义

奥林匹克数学的技巧（下篇）

2-7-18 优化假设

对已知条件中的多个量作有序化或最优化（最大、最小、最长、最短）的假定，叫做优化假设，常取“极端”、“限定”、“不妨设”的形式。由于假设本身给题目增加了一个已知条件，求解也就常能变得容易。求解IMO10 4,IMO24 6,IMO29 6都用到这一技巧。

例2-166 空间2n(n 2)个点，任4点不共面，连n 1条线段，证明其中至少有3条边组成一个三角形。

证明 设其中任意三条线段都不能组成三角形，并设从A1点引出的线段最多（优化假设），且这些线段为A1B1，A1B2， A1Bk，除A1，B1，B2， ，Bk之外，其他点设为A2，A3， ，A2n-k。显然 B1,B2,…,Bk 中任两点间无线段相连。于是，每一个Bi发出的线段至多（2n k）条，而每个Aj发出的线段至多k条（i 1,2,…,kj 1,2,…,2n k），故线段总数最多为（图2-65）：

2

1k (2n k)2

[l(2n k) (2n k)k] k(2n k) [] n2 22

这与已知条件连n 1条线段矛盾，故存在三条线段组成一个三角形。

例2-167 平面上的有限个圆盘盖住了面积为1的区域S，求证可以从中选出一些互不相交的原盘来，使它们的面积之和不小于

2

1

。 9

证明 将圆心为O，半径为r的原盘记为C(o,r)。首先取全体圆盘中面积最大的一个记为

C(o1,r1)；然后在与C(o1,r1)不相交的圆盘中取面积最大的一个，记为C(o2,r2)，接着在与C(o1,r1)，C(o2,r2)都不相交的圆盘中取面积最大的一个，记为C(o3,r3)，继续这一过程，直到无圆可取为止，

设取得的圆盘依次为C(o1,r1)，C(o2,r2)， ，C(on,rn) （1）

则（1）中的圆盘互不相交，且剩下的圆盘均与（1）中的某一圆盘相交。下面证明，（1）中各圆面积之和S1 S2 … Sn不小于

1

。 9

任取x S，必存在一个已知圆盘C(o,r)，使c C(o,r)。这个C(o,r)或在（1）中，或与（1）中的圆盘相交，反正必与（1）有重迭部分，现设（1）中与C(o,r)有公共部分的最大圆盘为

C(ok,rk)(1 k n)，因为C(o,r)，C(ok,rk)与C(o1,r1)，C(o2,r2)， ，C(ok 1,rk 1)均不相交，(k,r3)更有故由C(ok,rk)的取法知r rk，且由C(o,r) C(ok,rk) 知，C(o,r) Cok，x C(ok,3rk)。这表明S UC(oi,3ri)

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