高中数学解题思想方法技巧全集6__勇士开门__手脚咚咚

第6 勇士开门 手脚咚咚

●计名释义

一个妇女立在衙门前的大鼓旁边，在哭. 一勇士过来问其故.妇女说：“我敲鼓半天了，衙门还不开.”



勇士说：“你太斯文，这么秀气的鼓捶，能敲出多大声音？你看我的！”说完，勇士扑向大鼓，拳打脚

踢. 一会儿，果然衙门大开，衙役们高呼：“有人击鼓，请老爷升堂！”

考场解题，何尝不是如此：面对考题，特别是难题，斯文不得，秀气不得，三教九流，不拘一格. 唯

分是图，雅的，俗的，一并上阵.

●典例示范

【例1】 已知x,y∈ 4,

4 3, a∈R，且x3 sinx 2a 0, , 4y sinycosy a 0则cos (x+2y)的

值为 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【思考】 代数方程中渗入了三角函数，不可能用初等方法“正规”地求出它的解.但两个方程有较多的形

似之处，能否通过适当的变形使之由“形似”到“神似”呢？

3 x sinx 2a 0解：由条件得： 3 ( 2y) sin( 2y) 2a 0

∴x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根 t

2, . 2

【插语】 这是勇士之举，采用手脚并用，谁会想到用方程根来解决它呢?

设f (t)=t3+sint-2a. 当t∈

3, 时，y1 t,y2 sint均为增函数，而-2a为常数.∴22

f(t)是 , 上的单调增函数.

22

∵f (x)= f (-2y)=0.

∴只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1. 选B.

【点评】 想到方程根使所给2个式子合二为一，是本题一个难点之一；判断函数是单调函数又是一个难

点.

【例2】 已知向量a= (cosθ,sinθ),向量b=(3,-1) ， 则 |2a - b| 的最大值、最小值分别是

( )A.42,0 B.4,22 C.16,0 D.4,0

【解答】 如图，点A(cosθ,sinθ)在圆x y 1上运动时，延OA到C，使|OC|=2|OA|=2a, 求22