高中数学解题思想方法技巧全集10__耗子开门__就地打洞

第11计 耗子开门 就地打洞

●计名释义

《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.

庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.

数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.

●典例示范

【例1】 已知f (x)= 2x，判定其单调区间.

【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.

【解答】 设x1<x2，f (x1)-f (x2)=

2x -

2x.

【插语】 x1，x2都在根号底下，想法把它们啃出来.有办法，将“分子有理化”. 【续解】

2x1 2x2 [KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)]

33

=

(3 2x1 2x2)(3(1 2x1) (1 2x1)

2

2

3

(1 2x1)(1 2x2)

3

32

(1 2x2))

2

(1 2x1)(1 2x2) (1 2x2)

易知3(1 2x1)2 (1 2x1)(1 2x2) 3(1 2x2)2=△>0. 故有原式=

2(x1 x2)

<0.

故f (x)=

2x的增区间为（-∞,+∞).

【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.

【例2】 （04·天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.

（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望；

（Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率. 【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（ξ=0）=

C4C6

33

15

;P(ξ=1)=

C4C2C6

3

21

35

；P (ξ