线面垂直习题精选精讲

非常好的线面垂直习题精选

线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：1 如图1，在正方体ABCD A1BC11D1中，AO 平面MBD． 1

A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A AC A，

∴DB⊥平面A 平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1． 1

323222

设正方体棱长为a，则A1O a，MO a．

2492222

AM a．∵AO 在Rt△AC中，，∴AOM OM MO2 AM111111

4

∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

证明：连结MO，

． ∵OM

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2 如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，

AD 平面PAC，且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC． 又∵BC 平面PBC

，

∴

AD⊥

BC．

∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC． ∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

（另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC⊥平面PAC）．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直 线面垂直 线线垂直．

判定性质

判定性质

线面垂直 面面垂直．这三者 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直

之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明

问题．下面举例说明．

3 如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过

A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AE SB，

AG SD．

证明：∵SA

平面ABCD，

∴SA BC．∵AB BC，∴BC 平面SAB．又∵AE 平面SAB，∴BC AEAE 平面SBC．∴AE SB．同理可证AG SD．

．∵SC 平面AEFG，∴SC AE

．∴

评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵AC

BC，∴CF AB．

∵AD BD，∴DF AB．

又CF DF F，∴AB 平面CDF． ∵CD 平面CDF，∴CD AB． 又CD BE，BE AB B， ∴CD 平面ABE，CD AH．

∵AH CD，AH BE，CD BE E，

∴

AH 平面BCD．