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第十六讲 锐角三角函数
古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：
1．单调性；
2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sinα+cosα=1； 商数关系：tgα=
sin cos
2
2
，ctgα=
cos sin
；
倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】
【例1】 已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝则S△ABC = ．
思路点拨 过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=tanB=
注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S△ABC= （2）
asinA
CDAC
513
513
，tanB=2，AB=29cm，
，
CDBD
2
，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值．
12
bcsinA b
c
12
acsinB
12
absinC
；
sinB
sinC
2R
．
【例2】 如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=( ) A．2 3 B．2 3 C．0.3 D．3 2
思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
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