浅析如何用放缩法证明不等式

浅析如何用放缩法证明不等式

浅析如何用放缩法证明不等式

高二⑴班 徐 晔

笔者在学习不等式时，觉得放缩法是证明不等式的重要方法之一，在证明的过程如何合理放缩，是证明的关键所在，笔者尝试利用对称性来放缩，效果不错。现例析如下，供大家讨论。

例1：设a、b、c是三角形的边长，求证abc≥3 b c ac a ba b c

证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c，则b c a≤c a b≤a b c 且2c a b≤0， 2a b c≥0

∴

∴abcabc 3 1 1 1 b c ac a ba b cb c ac a ba b c2a b c2b a c2c a b2a b c2b c a2c a b≥ 0 b c ac a ba b cc a bc a bc a babc≥3 b c ac a ba b c

2b a c无法放缩。所以在运用放c a b[评析]：本题中为什么要将b c a与a b c都放缩为c a b呢？这是因为2c a b≤0， 2a b c≥0，而2b a c无法判断符号，因此

缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度。

例2：设a、b、c是三角形的边长，求证

[(a b)2 (b c)2 (c a)2]

证明：由不等式的对称性，不防设a≥b≥c，则3a b c 0,3b c a≥b c c c a b c a 0

左式－右式 3a b c3b c a3c a b(b c)2 (c a)2 (a b)2 b ca ca b

3b c a3c a b(c a)2 (a b)2 a ba b

2(b c a)3b c a3c a b(a b)2 (a b)2 (a b)2≥0 a ba ba b13abc(b c)2 (c a)2 (a b)2≥ b cc aa b ≥ ≥

[评析]：本题中放缩法的第一步“缩”了两个式了，有了一定的难度。由例1、例2也可知

运用放缩法前先要观察目标式子的符号。

例3：设a、b、c R 且abc 1求证111≤1 1 a b1 b c1 c a

证明：设a x3,b y3,c z3.且 x、y、z R . 由题意得：xyz 1。

∴1 a b xyz x3 y3