浅谈反证法在高等数学中的应用

第2 3卷第 2期 2 0 1 3年 6月

湖南工程

学院学报

V0 1 . 2 3 . No . 2 J u n e 2 0 1 3

J o u r n a l o f Hu n a n I n s t i t u t e o f En g i n e e r i n g

浅谈反证法在高等数学中的应用 高婷婷，张明会 (陇南师范高等专科学校数学系，成县 7 4 2 5 0 0 )

摘

要：反证法是一种间接证法，其思维特点是逆向思维，这种方法不从命题的题设出发，而是从命题

题断的反面入手，通过合理论证找出矛盾，从而确认命题的真实性 .反证法的思想非常深刻，方法也相当 灵活.但因它是一个逆向思维，初学者常常不习惯，也不得要领，有的甚至避而不用，其实反证法是证题

术中一个有力的论证手段，它除了论证的功能外，还有发现的功能，本文就高等数学中几类常见的例题 谈谈反证法在高等数学中的应用. 关键词：反证法；逆向思维；数学分析；应用 中图分类号：O1 5 1 . 2 文献标识码：A 文章编号： 1 6 7 1一l 1 9 X( 2 O 1 3 ) 0 2—0 0 4 7—0 3

1 反证法概述 古希腊数学家欧道克斯正是依据了反证法发现

效 ;

( 3 )待证命题要证“唯一性”时，反证法常常有 ( 4 )当命题的题断涉及到无限时(否定后成为有

了无理数 (√ 2的非有理性证性明就是一例 ) .罗巴切 夫斯基 ( L o b a t c h e v s k y )发现非欧几何学，从某种意

限，有限比无限好处理 )可考虑用反证法； ( 5 )与“抽屉原则”相伴使用，抽屉原则是指：把个元素放在 m个抽屉里，若一？+r, ( 0<r<m <n ),那么，至少有一个抽屉的元素要多于 g个.当 r一0时，至少有一个抽屉的元素不少于 q个.

义上说，也是总结了用反证法证明平行公理失败的教训，从而得到启示的结果.就是说把有理数域扩充到实数以及非欧几何的诞生都是逆向思维——特别是反证法的伟大功绩 .鉴于此，近年来教育界有人主张，对学生要加强逆向思维原则的教育，借以培养学 生思维的多向性、创造性与灵活性 . 反证法的核心是否定题断后去找矛盾 .怎么去

找矛盾，这是反证法的关键，也是一个难点.我们曾从逻辑角度对此作了较全面的阐述 . 总之，用反证法证明一个真命题，最后一定要出现矛盾——与题设矛盾，或者导致题设自相矛盾，或 者出现一个自相矛盾的结果 .

2反证法例题选讲 例 1对于 V n, b ER,,试证 l a+6 l≤ a l+ 证明反设|口。, b。∈R,有

I&+6 l>l口I十l b l (口。+6。 ) >( I a。 l+ l b。 1 )

2口。 b。>2 l a。 I l b。 l n。 b o> I口。 l l b o} (矛盾 ),

故命题证明. 例 2试证函数， ( z )=== 在( O, 1 )上无界 .

那么在什么情况下可以考虑用反证法呢？这个问题不好回答，因为迄今还没有一个适用反证法的判

别法则，但我们仍然可以提出几条线索，供读者参考 . ( 1 )待证命题以否定形式出现时，可考虑用反证

证明反设厂 ( )一÷在( o, 1 )上有界，即] M

法.例如√ 2不是有理数这样的简单命题； ( 2 )待证命题的题断以“至少” (或“最多” )的形 式出现时，可以考虑用反证法；

> 1使 V z∈ ( 0, 1 ),有『 l Z I l 一 Z ≤ M z>/ 1/ 1 > o, 即x E[ , 1],此与 z∈( o, 1 )矛盾，故命题得 证.

收稿日期： 2 0 1 3一O l一0 9

作者简介：高婷婷( 1 9 7 9一),女，讲师，研究方向：应用数学