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设 ( )={
1, 为有理数 , 为无理数
，则f (x)在[0,1]上 (R)可积? (L)可积? 若可积求积分
f (x)在[0,1]上只有在x=1处连续
则mE{x∈[0,1]:f(x)在x处不连续}=1≠0，因此f (x) (R)不可积 又因为f (x)是有界可测的，所以f (x) (L)可积
∫
( ) =∫
[0,1]
1 +∫
[0,1]
=∫
[0,1]
[0,1]
∫
所以
=∫
[0,1]
+∫
[0,1]
=
[0,1]
1
=∫ 2[0,1]
1
∫ ( ) =
2[0,1]
2
设 ( )={
, 为有理数0, 为无理数
， 证明f(x)在[0,1]上可积，并计算∫[0,1] ( )
0≤f(x)≤e→f(x)有界
mE{ex:x∈[0,1]∩Q}=0→f(x)可测
定义一个映射φ：x→ex,这是一个一一映射 因此，f(x)在[0,1]上(L)可积
∫
3
2, 为大于3的无理数 1
设 ( )= 3, 为小于1的无理数 ，计算∫0 ( )
3
0, 为有理数{记 1=[0,, 2=[,1]
3
3
1
1
1
( ) =∫
[0,1]
+∫
[0,1]
0 =0
[0,1]
定义[0,1]上的函数
3, ∈ 1
( )={2
, ∈ 2
g(x)在[0,1] 上仅有一个间断点 =3因此它在[0,1] 上R可积，并且
10
1
∫ ( ) =∫ +∫ 2 =
111
3
35108
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