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实变函数考试重点题目
第一章：求极限 Eg：求
An (
1n
,n)
的上下极限
liminfAn
下极限
n
m 1n m
(
1n1
,n)
m 1
(
1m1
,m) (0, )
limsupAn
上极限
n
(n,n) (m,m) (0, )
m 1n m
m 1
P24页 第5题
5、设F是[0,1]上全体实函数所构成的集合,F 2c.
证明：(1)设 E(x)为E的示性函数,A {E|E [0,1]},B { E(x)|E [0,1]} F,
显然A~B,于是2c A B F；
(2)设Gf {(x,f(x))|x [0,1]},C {Gf|f F},D {P|P [0,1] R},
c
显然F~C D,于是F C D 2,总之,F 2c.
P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题
2.设一元实函数f(x) C(R) a R,G {x|f(x) a}是开集,
F {x|f(x) a}是闭集.
证明：(1) x0 G,取 f(x0) a 0,因f(x) C(x0),
那么对于 0, 0,s.t.|x x0| 时, |f(x) f(x0)| ,
即f(x) f(x0) a,从而N(x0, ) G,所以G是开集.
(2) x0 F , 互异点列{xk} Fs.t.xk x0,显然f(xk) a,
因f(x) C(x0),有f(x0) limf(xk) a,即x0 F,
k
于是F F,所以所以F是闭集.
n
12、设实函数f(x) C(R) G O,f
1
(G) O.
证明：“ ” G O, x0 f
1
(G),
因f(x0) G O, 0s.t.f(x0) N(f(x0), ) G,
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